成型磨齒法磨輪外形的新算法0江山
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成型磨齒法磨輪外形的新算法
成型磨齒法磨輪外形的新算法 2011年12月10日 来源： 成型磨齒法磨輪外形的新算法
王進猷*，鍾運來**，陳朝光***
本文提出已知端截面(transverse section)齒形、或法截面上的基本齒廓(basic rack cutter profile)，利用嚙合理論，以電腦模擬設計出齒輪輪齒的齒面方程式，並藉逆包絡方法(inverse envelope method)，將上述螺旋空間齒面當成已知，以求取包絡此輪齒的磨輪外形的形狀。本文以圓的參數式建立各種不同平面幾何的數學模型，以便將磨輪形狀的求解成為一通式，並由接觸線形狀的最佳化，以求解適當的輪磨加工參數，如磨輪安裝角等。最後藉由工研院OPAL-50型成型磨齒加工機，完成漸開線齒形內齒輪對、單圓弧齒形齒輪對與雙圓弧齒形齒輪對的磨齒加工，以作理論結果的驗證。
1 緣起
齒輪與齒輪變速箱，幾乎是所有機械設備傳動部份的零件，因此一直是機械工業的關鍵基礎，廣為各已發展國家機械工業關注的焦點，例如美國齒輪協會(AGMA)、日本齒輪協會(JGMA)、德國機械裝備協會(VDMA)、義大利齒輪協會(assiot)，均通過組織行業聯合研究發展新產品，並舉辦國際展覽與學術交流，向政府提出行業發展與拓展貿易的建議等，來推進齒輪技術的進步。在我國，根據海關進出口統計資料顯示，1997年全年我國齒輪出口值為台幣2.98億，進口值則高達台幣104億元，顯示國內齒輪製造廠商所能供應的齒輪自給率偏低，應還有很大的發展空間。又根據工研院機械所ITIS計畫調查顯示，國產齒輪在齒輪設計、可靠度、振動噪音與使用壽命等方面，均極待提升，齒輪業者希望學術界，能協助其在齒輪的齒形、強度與效率的理論分析、開發或提升CAD/CAM軟體，目前所急需進行的技術研發項目中，亦包括有切齒模擬分析軟體，齒輪最佳化軟體、硬齒面加工技術與內齒輪之輪磨技術等等，成型研磨齒輪具備高精度，高壽命低振動噪音的特點。
1.1 成型研磨齒輪的特點
隨著工具機的高速化、精密化、低噪音及傳動齒輪輕量化的發展趨勢，使得磨齒加工得到愈來愈廣泛的應用，尤其是做過淬火硬化的硬齒面的最終精加工，可藉成型磨齒法糾正切齒誤差及熱處理變形；同時可藉研磨過程中，完成齒高與導程修整，以提高磨齒加工的附加效應，因此根據統計資料可知，在工具機傳動的齒輪市場中，經輪磨加工的齒輪已佔齒輪市場的20﹪~50﹪；另一方面，隨著CNC加工技術的進步，新一代具數控控制的磨齒機，具有數控控制的鑽石修整器(DRESSING)，可解決隨研磨而磨損的修整問題。相信近年來，磨齒技術的突破，將使磨齒加工邁向一個新的歷程。
2目標
本文舉硬齒面漸開線內齒輪與單、雙圓弧齒形齒輪對為例，其原因是硬齒面漸開線內齒輪的精製，成型磨齒法是最通用的方法。而對單、雙圓弧齒輪而言，因為齒形對誤差敏感性很大，以成型磨齒加工具備修正前製程所造成的誤差與變形。但因關單、雙圓弧齒輪，國內使用不多，業者不甚了解，相關研究國內亦只有交大蔡忠杓教授有做過研究，因此對圓弧齒輪的特點與發展做一簡介。
2.1圓弧齒輪的特點與發展
圓弧齒輪和螺旋齒輪的傳動原理相似，其間的主要差別在於漸開線螺旋齒輪的嚙合是凸齒形和凸齒形相接觸;圓弧齒輪的嚙合是凸齒形和凹齒形相接觸的傳動。凸齒形和凹齒形相接觸，其接觸點附近曲面貼合度高，即相對法曲率較小，兩共軛嚙合面間可允許的最小油膜厚度較大，且兩接觸面間接觸應力較小，因此可分別提高齒輪的承載力與抗磨耗性質。因為具備上述特點，在中國大陸、蘇聯、日本被廣泛的使用於在採礦、冶金等高負載場所。而圓弧齒輪的發展始於1920年美國Wildhaber 提出法面齒廓為圓弧的螺旋齒輪傳動。1956年Novikov進一步完成了圓弧齒輪的嚙合理論，並進而運用至工業界中，此型齒輪被稱為Wildhaber-Novikov齒輪，或簡稱為W-N齒輪、(單圓弧齒輪)。英國於1968年由Rolls-Royce 公司的Studer 提出分階式雙圓弧齒輪，並應用於直昇機的螺旋槳驅動系統中。中國大陸於1967年訂定單圓弧齒輪齒形國家標準GB929-67，於1981年訂定雙圓弧齒輪齒形國家標準GB2940-81，本型齒輪和蘇聯國家標準相似，均為圓弧圓心單偏的齒形。雙圓弧齒輪在嚙合理論上，是屬於點接觸，並有上、下兩接觸軌跡，當加上負載後，兩嚙合齒面間因受載後，微小彈性變形而使接觸點成為一嚙合面，並隨著嚙合次數增加而逐漸磨合，使凹凸齒面圓弧半徑趨於相等，因此在實際使用前經適當的磨合(跑合)處理，可使齒面間相對曲率降低。更加提高接觸承載力。1991年為了降低充份跑合時間，訂定雙偏雙圓弧齒輪齒形的中國國家標準GB12759-91；所謂雙偏，是指凹齒、凸齒其圓弧中心均偏離節線。
3 方法
3.1螺旋齒面的數學模型
依將基齒本條上刀刃部份分成九段齒廓，並藉一圓的參數通式表示
ri＝ ，i＝1，2，…9 (1)
將法截面的齒廓藉由座標轉換矩陣Mt n即可將法截面齒廓轉換為端截面齒廓，法截面為基本齒條，其位置向量如式(1)所示，而端截面坐標可由
rt = Mt nrn (2) rt(u，θ)為一曲面向量式，必須找一幾何關係符合嚙合條件的限制，以使 u 參數可用θ參數表達、
f(u，θ)＝0 (3)
上式為嚙合方程式(The equation of meshing)，可用嚙合時接觸點的公法線過瞬時迴轉中心求得。
螺旋齒面方程式為
rI=M1fMf trt (4)
式(3)及式(4)聯立，即為具式(1)所定義法截面基本齒條的螺旋齒面方程式。
而求解齒輪端截面可由式(4)中，取邊界條件 z1＝0 即
u=(b1+ (5)
由式(5)及式(3)可求得 u 與 ，並將此兩值代入式(4)中，可求得輪齒端截面齒形。
3.2、以逆包絡砂輪輪廓面的求解
輪齒的空間螺旋曲面可定義成端截面齒形，沿齒輪軸向做螺旋運動求得，將此端面齒形對應至式(1)，以逆包絡方法：即齒面方程式已知，待磨齒輪和磨輪相對位置與運動已知，運用齊次坐標轉換原理與嚙合線方程式的限制，亦與式(3)、式(4)對應，以求得磨輪的空間位置向量
而砂輪輪廓可由下式
(6)
3.3成型研磨與最佳砂輪安裝角
砂輪研磨齒面時，除齒面修整將同時完成外，不同的砂輪安裝角會求得不同的砂輪接觸線，接觸線愈長，通常表示砂輪的研磨行程及加工時間也被加長，並且當砂輪兩側同時研磨時，兩側受力不均衡時間也隨之加長。基於降低研磨上磨削力的不平衡與減少研磨加工時間，因此沿砂輪徑向(yu方向)長度最短時的砂輪角可被視為最佳砂輪安裝角，此時仍應加上一限制條件，以限制砂輪安裝角不得偏離螺旋升角度太遠，以免磨輪的軸向厚度被先打磨過薄，才能完成磨削加工。
4 結果與討論
計算出各齒輪的端截面單一齒形後，由上述方法選取適當的磨輪安裝角，以使接觸線線形最佳化，輪磨各齒輪如圖1至圖8所示，並直接由線上量測其齒形與周節上各項誤差，其輪磨精度可達CNS 2級以上。
5 文獻 (篇幅因素從略)
6 誌謝
感謝正修技術學院的研究經費的補助、校長與系上老師的鼓勵、工研院機械所蔡所長與工廠工程師與技術人員的幫忙，與本人成大博士班指導教授陳朝光的耐心指導，一併致謝。